ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติศาสตร์ มัธยฐาน คือการวัดแนวโน้มสู่ส่วนกลางชนิดหนึ่ง ที่ใช้อธิบายจำนวนหนึ่งจำนวนที่แบ่งข้อมูลตัวอย่าง หรือประชากร หรือการแจกแจงความน่าจะเป็น ออกเป็นครึ่งส่วนบนกับครึ่งส่วนล่าง มัธยฐานของรายการข้อมูลขนาดจำกัด สามารถหาได้โดยการเรียงลำดับข้อมูลจากน้อยไปมาก (หรือมากไปน้อยก็ได้) แล้วถือเอาตัวเลขที่อยู่ตรงกลางเป็นค่ามัธยฐาน ถ้าหากจำนวนสิ่งที่สังเกตการณ์เป็นจำนวนคู่ ทำให้ค่าที่อยู่ตรงกลางมีสองค่า ดังนั้นเรามักจะหามัชฌิม (mean) ของสองจำนวนนั้นเพื่อให้ได้มัธยฐานเพียงหนึ่งเดียว

ตัวอย่าง

กำหนดให้ชุดข้อมูลหนึ่งมีข้อมูลเป็น (6, 5, 6, 8, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 7) ซึ่งมีข้อมูล 11 ตัว สามารถเรียงลำดับจากน้อยไปมากได้ (2, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 8) ดังนั้นเราจะได้มัธยฐานคือ 4 ซึ่งอยู่กึ่งกลางของการเรียงลำดับข้อมูล

และสำหรับชุดข้อมูล (6, 5, 6, 8, 2, 2, 3, 2, 4, 2) ซึ่งมีข้อมูล 10 ตัว สามารถเรียงลำดับจากน้อยไปมากได้ (2, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 8) ค่ากึ่งกลางมีสองค่าคือ 3 และ 4 ดังนั้นจึงต้องหามัชฌิมของสองตัวนี้ ซึ่งในกรณีนี้จะใช้มัชฌิมเลขคณิต ดังนั้นมัธยฐานของข้อมูลชุดนี้เท่ากับ (3 + 4) / 2 = 3.5

มัธยฐานในการแจกแจงความน่าจะเป็น

สำหรับการแจกแจงความน่าจะเป็นใดๆ บนเส้นจำนวนจริงด้วยฟังก์ชันการแจกแจงสะสม F โดยไม่สนใจว่าจะเป็นการแจกแจงต่อเนื่องหรือไม่ มัธยฐาน m คือค่าที่ทำให้อสมการนี้เป็นจริง

\operatorname{P}(X\leq m) \geq \frac{1}{2} \leq \operatorname{P}(X\geq m) \!

หรือ

\int_{-\infty}^m \mathrm{d}F(x) \geq \frac{1}{2} \leq \int_m^{\infty} \mathrm{d}F(x) \!

 มัธยฐานของการแจกแจงอื่นๆ

  • การแจกแจงปรกติ (normal distribution) โดยมีมัชฌิม μ และความแปรปรวน σ2 มัธยฐานจะมีค่าเท่ากับ μ ซึ่งในความเป็นจริง การแจกแจงปรกติจะมีความสัมพันธ์ว่า มัชฌิม = มัธยฐาน = ฐานนิยม
  • การแจกแจงเอกรูป (uniform distribution) ในช่วง [a, b] จะได้มัธยฐานเท่ากับ (a + b) / 2 ซึ่งมีค่าเท่ากับมัชฌิม
  • การแจกแจงโคชี (Cauchy distribution) โดยมีพารามิเตอร์บ่งตำแหน่ง x0 และพารามิเตอร์บ่งขนาด y มัธยฐานจะมีค่าเท่ากับ x0
  • การแจกแจงแบบเลขชี้กำลัง (exponential distribution) โดยมีพารามิเตอร์บ่งขนาด λ จะได้มัธยฐานเท่ากับ \tfrac{1}{\lambda} \ln(2)
  • การแจกแจงไวบุลล์ (Weibull distribution) โดยมีพารามิเตอร์บ่งรูปร่าง k และพารามิเตอร์บ่งขนาด λ มัธยฐานจะมีค่าเท่ากับ \tfrac{1}{\lambda} [ \ln(2) ]^{1/k}